사다리 40만 판 실험: 가로줄을 무작위로 그은 사다리는 공평하지 않았다

실험은 이렇게 했습니다

네 명이 타는 사다리를 두 방식으로 각각 40만 판씩 만들었습니다. 첫째는 손으로 그리는 사다리를 흉내 낸 모형으로, 6단 높이에서 단마다 이웃한 세로줄 사이에 50% 확률로 가로줄을 긋되 같은 단에서 이웃한 가로줄은 겹치지 않게 왼쪽부터 채웠습니다.

둘째는 뽑고가 실제로 쓰는 방식입니다. 누가 어디로 도착할지를 먼저 무작위로 정하고, 그 결과가 나오도록 가로줄을 놓습니다. 이 방식의 판 하나에는 평균 6.1개의 가로줄이 쓰였습니다. 공평하다면 어느 출발점에서 시작하든 네 도착점이 각각 25%여야 합니다. 첫 번째 방식은 가로줄 모형이라는 가정이 들어간 실험이라는 점을 미리 밝혀 둡니다.

가로줄을 무작위로 그은 사다리의 결과

가장 눈에 띄는 것은 가장자리입니다. 1번 줄에서 출발하면 도착도 1번 줄인 경우가 35.30%였고, 반대편 끝인 4번 줄에 도착하는 경우는 13.83%뿐이었습니다. 4번 줄에서 출발해 4번 줄에 도착하는 경우도 37.1%로 비슷했습니다(왼쪽부터 가로줄을 채우는 모형이라 좌우가 정확히 대칭은 아닙니다). 자기 자리 근처에 도착할 확률이 높고 멀리 가기는 어려운 구조입니다.

가운데 줄은 이웃한 두 줄로 갈 수 있어서 상대적으로 고르지만 그래도 25%에서는 벗어나 있습니다. 사람이 가로줄을 그을 때는 더 복잡한 습관이 끼어들겠지만, 짧은 사다리에서는 이런 경향이 나타난다는 것을 보여 주는 실험입니다.

뽑고 방식의 결과

뽑고 방식에서는 열여섯 개 칸이 모두 24.78%~25.17% 사이에 들어왔습니다. 어느 출발점이든 어느 도착점이든 사실상 25%입니다. 가로줄의 모양이 결과를 정하는 것이 아니라, 결과가 먼저 정해지고 가로줄은 그것을 보여 주기 위해 놓이기 때문입니다.

이 결과가 실제 사용에 주는 힌트

첫째, 종이 사다리로 정할 때는 가장자리 줄을 고르는 사람이 「자기 줄 근처」에 도착하기 쉽다는 점을 알아 두세요. 중요한 결정이라면 가로줄을 그은 사람과 줄을 고르는 사람이 서로 다른 것이 공평합니다. 가로줄을 보고 줄을 고르게 하면 그 자체로 유리·불리가 생기니, 가로줄을 가린 채로 줄을 먼저 고르게 하는 것이 흔한 규칙입니다.

둘째, 짝 만들기에 사다리를 쓸 때는 이 경향 때문에 「같은 자리끼리 계속 연결되는」 일이 생길 수 있습니다. 위 줄과 아래 줄을 한 번씩 섞어 쓰거나 결과를 먼저 정하는 도구를 쓰면 이런 일이 줄어듭니다.

한계

이 실험은 네 명, 6단이라는 하나의 모형만 다뤘습니다. 줄 수가 더 많거나 높이가 더 높은 사다리, 사람이 직접 그리는 사다리는 다른 분포를 보일 수 있습니다. 뽑고 방식의 결과가 고르다는 것은 이 실험이 보여 주지만, 가로줄 모양이 보기 좋은지는 다른 문제입니다. 가로줄은 결과에 영향을 주지 않도록 만들어지므로 모양이 어떻든 확률은 같습니다.