뽑고사다리타기의 원리: 왜 결과가 겹치지 않을까
사다리타기는 오래된 놀이지만 잘 생각해 보면 신기합니다. 가로줄을 마음대로 그어도 두 사람이 같은 곳에 도착하는 일은 절대 없지요. 그 이유를 네 명의 예로 한 칸씩 따라가 보고, 사다리를 더 잘 쓰는 방법까지 정리했습니다.
가로줄은 이웃한 두 사람의 자리를 맞바꾸는 것
세로줄 위를 내려가던 사람이 가로줄을 만나면 옆줄로 이동합니다. 그런데 그 가로줄의 반대쪽 끝에 있던 사람도 똑같이 반대로 이동해요. 가로줄 하나는 결국 이웃한 두 사람의 자리를 서로 맞바꾸는 일입니다.
자리를 바꾸는 일을 아무리 여러 번 반복해도 한 자리에 두 사람이 겹치는 일은 생기지 않습니다. 모든 사람이 서로 다른 자리에 도착하고, 빠지는 자리도 없어요. 그래서 참가자와 결과가 언제나 일대일로 연결됩니다.
네 명이 내려가는 길을 한 칸씩 따라가 보기
말로만 들으면 와닿지 않으니 예를 하나 따라가 봅시다. 위에서 왼쪽부터 가, 나, 다, 라가 서 있고 가로줄이 세 개 있습니다. 첫째 가로줄은 1번과 2번 줄 사이, 둘째는 2번과 3번 줄 사이, 셋째는 다시 1번과 2번 줄 사이에 위에서 아래로 차례로 놓여 있다고 하겠습니다.
첫째 가로줄에서 가와 나가 자리를 바꿔 나, 가, 다, 라 순서가 됩니다. 둘째 가로줄은 2번과 3번 줄 사이라서 이번에는 가와 다가 바꿔 나, 다, 가, 라가 되고, 셋째 가로줄에서 나와 다가 바꿔 다, 나, 가, 라가 됩니다. 도착 칸은 왼쪽부터 다, 나, 가, 라입니다. 가는 3번 칸, 나는 2번 칸, 다는 1번 칸, 라는 가로줄을 만나지 않아 4번 칸입니다. 세 번의 교환 동안 누구도 겹치거나 사라지지 않았다는 점을 확인해 보세요.
가로줄이 몇 개나 있어야 할까
이웃한 두 사람을 바꾸는 일만 반복해도 어떤 도착 순서든 만들 수 있습니다. 필요한 가로줄의 수는 순서에 따라 다르고, 가장 많이 드는 경우는 순서를 완전히 뒤집을 때로 n명이라면 n(n−1)/2개입니다. [계산] 네 명이면 6개이지만 서른 명이면 435개가 되어, 가로줄을 한 줄에 하나씩 쌓으면 판이 지나치게 길어져 눈으로 따라가기 어렵습니다.
뽑고는 그래서 도착 연결을 먼저 정한 다음, 가로줄이 서로 겹치지 않는 줄들을 벽돌처럼 엇갈리게 놓아 판을 만듭니다. 이때 판 위에는 결과에 영향을 주지 않는 여분의 가로줄이 함께 놓입니다. 네 명이 타는 판 40만 개를 만들어 세어 보니 한 판에 평균 6.1개의 가로줄이 쓰였습니다. [실측] 가로줄이 몇 개이고 어디에 있든, 이미 정해진 도착 연결은 그대로입니다. 그 확률이 실제로 고른지는 「사다리 40만 판 실험」에서 손으로 긋는 방식과 나란히 비교했습니다.
사다리로 할 수 있는 일
사다리타기는 「하나를 뽑는」 도구가 아니라 「모두에게 결과를 하나씩 나눠 주는」 도구입니다. 그래서 역할 분담에 가장 잘 맞아요. 참가자에 사람 이름을, 결과에 「청소」「설거지」「쉬기」 같은 역할을 적으면 한 번에 모두의 몫이 정해집니다.
짝 만들기에도 쓸 수 있습니다. 위에는 A조 이름을, 아래에는 B조 이름을 적으면 일대일 짝이 만들어져요. 멘토와 멘티를 연결하거나 선물 교환 상대를 정할 때 유용합니다. 참가자와 결과의 개수는 반드시 같아야 하므로, 남는 자리는 「꽝」이나 「쉬기」로 채우세요.
사다리가 어울리지 않는 경우
참가자가 서른 명에 가까워지면 세로줄이 촘촘해져 눈으로 따라가기 어렵습니다. 뽑고의 사다리타기도 최대 30명까지이고, 큰 사다리는 안쪽을 스크롤하며 결과 표를 함께 봐야 합니다. 그런 경우에는 사다리의 재미보다 결과 자체가 중요할 테니 제비뽑기나 팀 나누기가 더 빠릅니다.
한 명만 뽑으면 되는 상황도 사다리보다 룰렛이 더 간단해요. 사다리는 여러 사람이 각자의 줄을 눈으로 따라가는 시간이 재미의 핵심이므로, 그 시간을 즐길 수 있는 자리에 쓰는 것이 좋습니다.
종이에 직접 그려 볼 때
원리를 이해했다면 종이에 그려 보면서 확인할 수 있습니다. 세로줄 다섯 개를 긋고, 이웃한 줄 사이에만 가로줄을 여러 개 그어 보세요. 단, 같은 높이에서 가로줄이 서로 이어지면 안 됩니다. 어디서 시작하든 아래에 도착하면 다섯 자리가 모두 서로 다른 사람으로 채워집니다.
이 원리는 수학에서 순열이라 부르는 개념과 이어집니다. 이웃한 두 원소를 맞바꾸는 일을 반복해 어떤 순서든 만들 수 있다는 것이지요. 다만 가로줄을 눈대중으로 긋는 종이 사다리는 도착 확률이 고르지 않을 수 있습니다. 어떤 일이 생기는지는 앞에서 소개한 실험 글에 숫자로 정리해 두었습니다.